Четырехугольники
Разбор типовых вариантов заданий №25 ОГЭ по математике
Первый вариант задания
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IJ перпендикулярны.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж.
- Определяем место расположения точек I и J.
- Используем свойство серединного перпендикуляра.
- Делаем вывод.
Решение:
1. Делаем чертеж, согласно условия:
2. Определяем место расположения точек I и J:
Точка I равноудалена от точек A и B. Аналогично, точка J равноудалена от концов отрезка AB.
3. По свойству геометрического места точек, равноудаленных от концов отрезка, эти точки расположены на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
А если две точки I и J лежат на серединном перпендикуляре, прямая IJ совпадает с ним.
Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.
Второй вариант задания
Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж по условию задачи.
- Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство.
- Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника CED.
- Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.
Решение:
1. Делаем чертеж по условию задачи:
2. Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство:
У них CE=DE, как радиусы окружности с центром в точке Е,
Аналогично, CF = DF, как радиусы окружности с центром в точке F.
EF – общая сторона.
Значит, данные треугольники равны.
Тогда по свойству равных фигур .
Рассмотрим треугольник CED. У него CE=DE, поскольку это соответствующие стороны равных фигур. Значит, треугольник равнобедренный.
EF – биссектриса угла E. следовательно, EF – высота по свойству равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что .
Утверждение доказано.
Третий вариант задания
Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж по условию задачи.
- Рассмотрим треугольники SMN и TMN и установим их равенство.
- Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника SMT.
- Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.
Решение:
1. Делаем чертеж согласно условия задачи.
2. Рассмотрим треугольники SMN и TMN. Они равны по трем сторонам:
SM=TM как радиусы окружности с центром в точке М,
SN=TN как радиусы окружности с центром в точке N,
а MN – общая сторона (см. рисунок выше).
3. По свойству равных фигур, , как соответствующие углы в равных треугольниках.
4. Рассмотрим треугольник SMT.
В нем по доказанному выше , а значит MN – биссектриса угла M. Данный треугольник равнобедренный с равными сторонами SM и TM.
Следовательно, MN – высота по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника. Следовательно, .
Утверждение доказано.
Четвертый вариант задания
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ВСА и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
Алгоритм решения:
- Выполняем рисунок по условию задачи.
- Устанавливаем подобие треугольников BOC и AOD.
- Записываем соотношение для сторон.
- Устанавливаем подобие треугольников AOB и DOC.
- Делаем вывод.
Решение:
1. Выполняем чертеж по условию задачи:
2. Рассматриваем треугольники BOC и AOD.У них:
углы ВСА и BDA равны по условию задачи,
углы BOC и AOD равны как вертикальные.
Значит, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.
3. Для подобных треугольников BOC и AOD записываем соотношение соответствующих сторон:
4. Рассматриваем треугольники AOB и DOC. У них:
углы AOB и DOC равны как вертикальные.
Следовательно, данные треугольники подобны.
По свойству подобных фигур соответствующие углы в треугольниках равны. Значит, , а поскольку эти углы совпадают с углами ABD и ACD , то .
Утверждение доказано.
Демонстрационный вариант ОГЭ 2019
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC= ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники BEC и AED. BE = EA, так как E — середина стороны AB по условию. EC= ED по условию, а BC = AD по свойству параллелограмма (противолежащие стороны равны). Таким образом, BE = EA, EC= ED, BC = AD. Следовательно, треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.
В равных треугольниках — равные элементы. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180° по свойству параллелограмма , то углы равны 90° (180 / 2 = 90 ) .
Следовательно, данный параллелограмм — прямоугольник.