Задание №18 ЕГЭ по математике базового уровня

Анализ утверждений

---

В задании 18 ЕГЭ по математике необходимо оценить те или иные утверждения. Задание направлено на логическое мышление и при внимательном подходе не вызовет трудностей. Нам необходимо внимательно прочитать вводную информацию, состоящую из двух или трех предложений, а затем оценить правильность четырех высказываний. Перейдем к рассмотрению типовых примеров 18 задания ЕГЭ.

---

Разбор типовых вариантов заданий №18 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 18МБ1

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать самое очевидное верное утверждение.
2. Выбрать суждения, которые противоречат условию задачи, то есть точно не верны.
3. Логически рассуждая определить истинность оставшихся суждений.

Решение:

1. Самое очевидное верное суждение под номером 4. Не найдется 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка, так как кружок по математике посещают всего 10 человек, а не 11.

2. Очевидно неверное суждение под номером 1. Если бы каждый ученик класса посещал оба кружка, то каждый кружок посещали бы 20 человек. Но по условию это не так.

3. Очевидно неверное суждение под номером 3. Если бы ученик из этого класса, который ходит на кружок по истории, обязательно ходил бы на кружок по математике, то кружок по математике посещали бы 13 человек, а это противоречит условию.

4. Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике – верное утверждение. Всего в классе 20 человек, 10 посещают кружок по математике, остается еще 10 человек. А кружок по истории посещают 13 человек, то есть 3 точно посещают оба кружка.

Ответ: 24

---

Вариант 18МБ2

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать самое очевидное верное утверждение.
2. Выбрать суждения, которые противоречат условию задачи, то есть точно не верны.
3. Логически рассуждая определить истинность оставшихся суждений.

Решение:

1. Самое очевидное верное суждение под номером 1.

Найдется 7 печений, которые ничем не посыпаны, так как из 40 печений 10 будут посыпаны корицей и, например, еще 20 будут посыпаны сахаром. Останется 40-10-20=10 печений, которые ничем не посыпаны.

2. Очевидно неверное суждение под номером 2.

Не обязательно найдётся 8 печений, посыпанных и сахаром, и корицей, так как, кондитер может посыпать печенья, как показано в п. 1 и тогда не будет ни одного печенья посыпанного и корицей и сахаром.

3. Очевидно неверное суждение под номером 3. Не обязательно если печенье посыпано корицей, то оно посыпано и сахаром так, например, см. п. 1.

4. Не может оказаться 12 печений, посыпанных и сахаром, и корицей, так как печений посыпанных корицей всего 10.

Ответ: 14

---

Вариант 18МБ3

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать самое очевидное верное утверждение.
2. Выбрать суждения, которые противоречат условию задачи, то есть точно не верны.
3. Логически рассуждая определить истинность оставшихся суждений.

Решение:

1. Очевидно неверное суждение под номером 1. Не всегда найдётся сотрудник, который не ездил на курсы на Кавказ и не поедет на стажировку в Волгоград, так как в Волгоград могут отправить всех оставшихся сотрудников, которые не ездили на Кавказ.

2. Самое очевидное верное суждение под номером 2.

Среди сотрудников этой фирмы, которых не отправят на стажировку в Волгоград, есть хотя бы один, который посещал курсы на Кавказе, так как в Волгоград отправляют тех, кто не ездил на Кавказ, поэтому найдется хотя бы один, который посещал курсы на Кавказе.

3. Каждый сотрудник, который не был на курсах на Кавказе, поедет на стажировку в Волгоград — не верно, т.к. в Волгоград отправляют не всех оставшихся сотрудников.

4. Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который посетил курсы на Кавказе и поедет на стажировку в Волгоград, так как те сотрудники, что ездили на Кавказ, уже не едут в Волгоград.

Ответ: 24

---

Вариант 18МБ4

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать самое очевидное верное утверждение.
2. Выбрать суждения, которые противоречат условию задачи, то есть точно не верны.
3. Логически рассуждая определить истинность оставшихся суждений.

Решение:

1. Самое очевидное верное утверждение под номером 1. Всего зеленых шариков 15-8=7 Таня случайным образом выбирает шарики, то есть, всегда, как минимум, 4 зеленых шарика будут без рисунков.

2. Также очевидно верное утверждение под номером 2. Таня делает только 3 рисунка, поэтому 5 желтых шариков с рисунками не найдется.

3. Не обязательно если шарик желтый, то на нем есть рисунок, желтый шарик может быть и без рисунка. Ведь желтых шариков 8, а Таня будет рисовать только на трех.

4. Не всегда найдётся 3 жёлтых шарика с рисунками, возможно, будут 3 желтых шарика без рисунка, например, Таня может нарисовать все рисунки только на зеленых шариках. Поэтому утверждение 4 не верно.

Ответ: 12

---

Вариант 18МБ5

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать самое очевидное верное утверждение.
2. Выбрать суждения, которые противоречат условию задачи, то есть точно не верны.
3. Логически рассуждая определить истинность оставшихся суждений.

Решение:

1. Не обязательно каждый школьник, который не ходил на речку, пойдёт в бассейн. В бассейн идут по желанию школьники, которые не ходили на речку, т.е. может оказаться школьник, который не пожелает пойти в бассейн.

2. Не обязательно найдётся школьник, который не ходил на речку и не пойдёт в бассейн, т.к. все школьники, которые не ходили на речку могут пойти в бассейн.

3. Да, среди школьников в этом лагере, которые не пойдут в бассейн, есть хотя бы один, который ходил на речку. Т.к. в бассейн идут те, что не ходили на речку (а на речку хотя бы один школьник ходил), поэтому из оставшихся найдется хотя бы один, который ходил на речку.

4. Да, в лагере нет ни одного школьника, который ходил на речку и пойдёт в бассейн. т.к. по условию тем, кто не ходил на речку, можно пойти в бассейн, а тем кто ходил нет.

Ответ: 34

---

Вариант 18МБ6

Утверждение 3 неверное, потому что противоречит условию.

Утверждение 1 верное, потому что Маша выше Вити, а значит и Ани, а Витя выше Коли.

Утверждение 2 неверное, потому что утверждение 1 верное.

Утверждение 4 верное по той же причине.

Ответ: 14

---

Вариант 18МБ7

Алгоритм выполнения

1. При выборе печений, посыпанных и корицей, и сахаром, нужно брать то количество тех или других, которое меньше. И нужно понимать, что это максимальное их значение, которое при других условиях может быть и меньшим.
2. Ничем не посыпанные печенья – это разница их общего количества и суммы тех, которые посыпаны хотя бы чем-нибудь.
3. Печения, посыпанные корицей, не обязательно посыпаны и сахаром. И наоборот.

Решение:

Анализируем каждое из утверждений:

1. По условию корицей посыпано только 10 печений. Следовательно, даже если все посыпать сахаром повар стал только те из них, которые уже посыпаны корицей, то смог сделать это исключительно для 10 штук. Утверждение 1 неверно.
2. Даже если повар посыпал печения отдельно сахаром и отдельно корицей, то ему удалось посыпать 20+10=30 штук. Тогда не посыпанных будет не меньше, чем 40–30=10 печений. Утверждение 2 верно.
3. Утверждение 3 верно (см.п.1).
4. Сахаром посыпано 20 печений, корицей – 10. Значит, даже если повар посыпал печенье, уже посыпанное сахаром, еще и корицей, то смог сделать это только для 10 штук. А остальные посыпанные сахаром, остались без корицы. Утверждение 4 неверно.

Ответ: 23

---

Вариант 18МБ8

Алгоритм выполнения

1. Числа, приведенные в условии, являются минимальным и максимальным значением соответственно. Любые числовые данные из утверждений, которые «выбиваются» из диапазона этих чисел, являются неверными.
2. При нахождении разницы в росте следует от большего числа из условия отнять меньшее. Результат составит максимально допустимое значение.

Решение:

Анализируем приведенные утверждения:

1. В утверждении приведено значение, которое больше максимального из условия. Следовательно, игрока с таким ростом в команде нет. Утверждение 1 неверно.
2. Утверждение 2 верно, поскольку минимальный рост игроков составляет 190 см, что в любом случае больше данного значения.
3. Это утверждение имеет место в тексте задачи как одно из условий. Оно истинно. Отсюда: утверждение 3 верно.
4. Максимальная разница в росте составляет 210–190=20 см. Больше этого быть не может. Пара же спортсменов, из которых хотя бы один имеет рост меньше максимального или больше минимального, обязательно составят в росте разницу, меньшую, чем 20 см. Поэтому утверждение 4 неверно.

Ответ: 23

---

Вариант 18МБ9

Алгоритм выполнения

1. Анализируем условие, выстраиваем дома в порядке возрастания этажности.
2. Анализируем по очереди предложенные утверждения (1–4), определяем истинность каждого.

Решение:

Т.к. в доме Мити этажей больше, чем в Машином, то поставим пока на 1-е (наименьшее) место дома Маши, а на 2-е – дом Мити. В Ленином доме меньше этажей, чем в Машином. Значит, на 1-м месте оказывается дом Лены, на 2-м – Маши, на 3-м – Мити. Дом Толи выше, чем дом Лены, следовательно, он не самый малоэтажный. Однако невозможно определить, является ли он более высоким (равно как и более низким), чем остальные, т.е. дома Маши и Мити.

1. Выше было доказано, что в доме Лены действительно меньше всего этажей. Утверждение 1 верно.
2. Согласно предварительному анализу, самый малоэтажный – дома Лены. Поэтому в доме Маши в любом случае этажей больше, чем в Ленином. Утверждение 2 неверно.
3. В Ленином доме этажей меньше всего. Значит, в любом другом – и в т.ч. в Митином – этажей больше. Утверждение 3 верно.
4. Анализ, произведенный выше, показывает, что 3 из 4-х домов расположены в порядке возрастания этажей, т.е. имеют неодинаковую этажность. Совпадение возможно только в случае с домом Толи, который выше, чем Ленин. Однако он может иметь одинаковую этажность с одним из прочих. Отсюда: среди 4-х домов имеется не более 2-х с одинаковым кол-вом этажей. Утверждение 4 неверно.

Ответ: 13

---

Вариант 18МБ10

Алгоритм выполнения

Для каждого утверждения 1–4 в тексте условия есть часть, подтверждающая или опровергающая его. Найдя эту часть (предложение-условие), сможем сделать вывод об истинности утверждения.

Решение:

Анализируем утверждения:

1. 1-е условие задачи подтверждает это утверждения, указывая, что есть дачники, выращивающие только одну из культур. Однако последнее – 4-е – условие опровергает его, говоря о том, что есть дачники, которые выращивают обе культуры. Т.е. утверждение истинно частично, и его нельзя считать верным полностью. Итак, утверждение 1 неверно.
2. Утверждение 2 верно, на что прямо указывает 1-е условие задачи.
3. Это утверждение напрямую сформулировано в 3-м предложении условия задачи. Поэтому утверждение 3 верно.
4. Утверждение 4 неверно, поскольку его опровергает 3-е предложение из условия задачи.

Ответ: 23

---

Вариант 18МБ11

Алгоритм выполнения

1. Поскольку в условии нет специальных оговорок относительно мастей или кличек кошек, то условие распространяется на любых из них.
2. Лог.выражение в задании «работает» и наоборот, а именно: если собака лает, то кошка идет по забору. Это справедливо потому, что измененное лог.выражение является эквивалентным исходному.
3. В предложенных утверждениях, а также в тексте самого задания и в измененном лог.выражении (см.п.1), 1-ую часть лог.выражения (после слова «если» или «когда» и до запятой) будем называть условием, а 2-ю (после запятой) – заключением.
4. При отрицании условия (т.е. выполнения условия с «не») истинным является отрицание и заключения. Т.о., к примеру, утверждение о том, что «когда кошка по забору не идет, то и собака не лает», является истинным.
5. Если условие с «не» (ложное условие) связано с истинным заключением, то такое утверждение считается ложным. Точно так же: истинное условие, связанное с ложным заключением (т.е. с заключением с «не), представляет собой ложное утверждение.

Решение:

Анализируем утверждения:

1. Здесь имеет место ложное условие и истинное заключение. Значит, утверждение 1 ложно.
2. «Жучка молчит» означает, что собака не лает. Т.е. в данном случае имеется ложное условие. Заключение тут тоже ложно, поскольку содержит отрицание «не». Поэтому в целом утверждение 2 истинно.
3. Оговорка «сиамская» не имеет значения, т.к. об этом ничего не сказано в условии. Поэтому условие в данном утверждении считаем истинным. Заключение тут ложно. Поэтому общий вывод: утверждение 3 ложно.
4. Кличка кошки («Муся») ни на что не влияет, т.к. никаких ограничений подобного пода в тексте задания нет. Поэтому условие здесь является истинным. Заключение тоже истинно, поэтому утверждение 4 истинно.

Ответ: 24

---

Вариант 18МБ12

Алгоритм выполнения

1. Съеденная за завтраком булочка исключает пирожок к обеду. И наоборот: если ученик получил пирожок к обеду, значит, булочку за завтраком он не ел.
2. Не каждый из учеников получил булочку или пирожок; некоторые не ели ни того, ни другого.

Решение:

Анализируем утверждения 1–4:

1. Утверждение 1 верно, поскольку оно является альтернативным для условия, сформулированного во 2-м предложении текста задачи.
2. Утверждение 2 верно, т.к. в тексте задачи нет нигде указания на то, что каждый из учеников что-нибудь ел. И для тех, кто ел булочку, и для тех, кому достался пирожок, оговорено: «некоторые», т.е. только часть от общего кол-ва учеников, причем сумма всех, кто что-нибудь ел, не обязательно равна общему их числу.
3. Здесь следует руководствоваться той же логикой и аргументацией, что и для 2-го утверждения. И из этого будет следовать, что утверждение 3 неверно.
4. Булочки и пирожки ели разные ученики, и никто не съел оба блюда. Поэтому если ученик ел булочку, значит, пирожок он точно не ел. Вторая же часть утверждения означает, что получение пирожка не исключает получение и булочки («хотя бы один» не означает «все»). Следовательно, утверждение 4 не верно полностью.

---

Вариант 18МБ13

Алгоритм выполнения

1. Одновременно оба языка знает только часть сотрудников. Вывод об этом можно сделать из того, что кол-во человек, знающих английский и немецкий языки, разнится и является меньшим общего кол-ва сотрудников.
2. Минимальное кол-во сотрудников, знающих оба языка, определяется как разница между суммарным числом знатоков каждого языка и общим кол-вом сотрудников в фирме, т.е. (40+20)–50.

Решение:

Анализируем утверждения:

1. Для того чтобы утверждать, что каждый сотрудник знает не более 1 языка, общее кол-во знающих английский и немецкий не должно превышать общего кол-ва сотрудников фирмы. Если есть избыток, значит, есть люди, знающие оба языка, причем избыток и составляет их кол-во. Отсюда вывод: т.к. такой избыток равен (40+20)–50=10 человек, то это означает, что число сотрудников, владеющих двумя языками, составляет не менее 10 человек. А следовательно, утверждение 1 верно.
2. Из анализа, произведенного для 1-го утверждения, следует, что утверждение 2 неверно.
3. Это утверждение было бы верным, если бы кол-во сотрудников, знающих английский язык, равно как и немецкий язык, было бы равно общему числу сотрудников фирмы. Но поскольку это не так, то утверждение 3 неверно.
4. Из п.1. следует, что максимальное значение этого числа равно 10. 10 действительно – не более 20. Получаем: утверждение 4 верно.

Ответ: 14

---

Вариант 18МБ14

Анализируем утверждения:

1. Согласно условию, для установки лифта требуется, чтобы в доме было более 5 этажей. Поскольку «больше 5» означает «меньше 6», то утверждение 1 верно.
2. Лифт в доме есть, если в нем больше 5 этаже. Тогда в доме, где больше 7 этажей, он есть тем более. Поэтому утверждение 2 неверно.
3. Для наличия лифта требуется, чтобы в доме было больше 5 этажей. Т.к. 8>5, то лифт в таком доме действительно есть. Утверждение 3 верно.
4. Сформулируем лог.выражение, альтернативное данному в условии задачи: если в доме установлен лифт, то в нем больше 5 этажей. Сравнив это выражение с 4-м утверждением, делаем вывод, что утверждение 4 ложно.

Ответ: 13

---

Вариант 18МБ15

Алгоритм выполнения

1. Высота 5 м может использоваться как минимальное значение диапазона высот. 25 м – только условно максимальное, поскольку по условию любой дом ниже этой высоты.
2. При определении предельной разницы высот следует от 25 отнять 5, однако при этом нужно понимать, что в результате будет получена разница не в 20 м, а меньше 20 (т.к. каждый из домов меньше 25 м).

Решение:

Анализируем утверждения:

1. Во 2-м предложении условия задачи прямо сказано, что любой дом имеет высоту, меньшую 25 м. Поэтому утверждение 1 неверно.
2. Предельная разница высот Х меньше, чем 25–5=20 м. Это означает, что она составляет 0<X<20. Отсюда следует, что разница более чем 6 метров возможна, однако не обязательна. Вывод: утверждение 2 неверно.
3. По условию минимальная высота домов составляет 5 м. Значит, дома высотой 4 м в поселке действительно нет. Утверждение 3 верно.
4. Высота каждого дома равна 5 или более метров. Это в любом случае не меньше 3 м. Значит, утверждение 4 верно.

Ответ: 34

---

Вариант 18МБ16

Алгоритм выполнения

2-я часть условия задачи (2-е предложение) означает, что отдыхом были охвачены все сотрудники. Отсюда же следует, что некоторые сотрудники отдыхали только на даче. Однако нельзя настаивать на том, что отдых на даче исключает отдых на море.

Решение:

Анализируем утверждения:

1. Во 2-м предложении условия задания оговорено, что любой сотрудник фирмы где-то отдыхал (либо на море, либо на даче). При этом формулировка этого условия такова, что отдых и на море не означает, что отдыха на даче не было. А это означает, что утверждение 1 верно.
2. В п.1 доказано, что каждый из сотрудников имел отдых как минимум в одном из месте. Поэтому утверждение 2 неверно.
3. Это утверждение является эквивалентным 2-му. Следовательно, оно, как и 2-е, ложно. Итак, утверждение 3 неверно.
4. Это утверждение напрямую сформулировано во 2-м предложении условия задачи, что указывает на его истинность. Вывод: утверждение 4 верно.

Ответ: 14