Анализ геометрических высказываний
В 20 задании из приведенных утверждений необходимо выбрать одно или несколько правильных. Утверждения из общего теоретического курса геометрии, поэтому, какие-то определенные рекомендации здесь дать нельзя, кроме как полного повторения теоретического курса. Другое дело, что если вы точно не знаете какое-либо утверждение, то решить задачу можно наоборот — выбирая и отсеивая неправильные. Это задание не имеет какого либо подхода к решению, однако ниже я привел несколько разобранных задач.
Разбор типовых вариантов задания №20 ОГЭ по математике
Первый вариант задания
Какие из следующих утверждений верны?
- Все диаметры окружности равны между собой.
- Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
- Любые два равносторонних треугольника подобны.
Решение:
Все диаметры окружности всегда равны между собой — это даже интуитивно понятно. Что касается второго утверждения, то оно неверно — вписанный угол всегда в два раза меньше центрального. А вот третье утверждение тоже верно — треугольники могут быть подобны по трем углам, а у равносторонних треугольников они всегда равны.
Ответ: 1,3.
Второй вариант задания
Какие из следующих утверждений верны?
- Все высоты равностороннего треугольники равны.
- Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
- Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
Решение:
Первое утверждение верно, так как у равностороннего треугольника все стороны равнозначны, а значит и все элементы, проведенные к ним, тоже. Второе утверждение тоже верно, так как нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку. Третье утверждение неверно — если диагонали равны, то это либо прямоугольник, либо квадрат.
Ответ: 1,2.
Третий вариант задания
Какие из следующих утверждений верны?
- Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
- Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
- Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую.
Решение:
Первое утверждение верно из общих свойств треугольника — сумма двух сторон всегда больше третьей. Второе утверждение тоже верно — действительно, любой прямоугольник можно вписать в окружность. Третье утверждение неверно, так как я писал уже чуть выше, что нет ограничений на количество произвольных прямых, проходящих через одну точку.
Демонстрационный вариант ОГЭ 2019
Укажите номера верных утверждений.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
- Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
- Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
- В любом параллелограмме диагонали равны.
Решение:
Проанализируем каждое из утверждений:
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Да, такое утверждение в геометрии есть, с дополнением » и только одну» :
«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой, и причем только одну.»
2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
Для существования треугольника должно выполняться следующее правило:
Сумма двух сторон всегда больше третьей. В данном случае это не так, так как 1 + 2 < 4
3) Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
Действительно, ромб — параллелограмм с равными сторонами, если у него один из углов будет равен 90°, а значит и все остальные, то тогда он станет квадратом.
4) В любом параллелограмме диагонали равны.
Нет, такого утверждения в геометрии нет, они равны только в квадрате и прямоугольнике.
Ответ: 1,3
Четвертый вариант задания
Какое из следующих утверждений верно?
1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
2) Смежные углы всегда равны.
3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Решение:
Проанализируем каждое утверждение.
1) Это утверждение верно, поскольку равенство и перпендикулярность диагоналей является одним из свойств именно квадрата.
2) Это утверждение неверно. Основание – соответствующая теорема, которой утверждается, что смежные углы в сумме имеют 1800, т.е. дополняют друг друга до развернутого угла. Следовательно, равенство смежных углов может иметь место только в случае, если достоверно известно, что один из них прямой.
3) Утверждение неверно. Высотой является только биссектриса, опущенная на основание равнобедренного треугольника.
Ответ: 1
Пятый вариант задания
Какое из следующих утверждений верно?
1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
2) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
Решение:
Выполняем анализ утверждений.
1) Согласно теореме о смежных углах, их сумма всегда равна 1800. Это означает, что любой из смежных углов является разностью 1800 и величины 2-го смежного угла. Если первый смежный угол острый, значит, второй равен разности 1800 и острого угла (т.е. угла, меньшего 900), которая в любом случае окажется больше 900. А угол, больший 900, по определению тупой. Итак, утверждение неверно.
2) Одно из свойств ромба заключается в том, что его диагонали перпендикулярны. Однако и диагонали квадрата тоже пересекаются под прямым углом. Но поскольку квадрат является частным случаем ромба, то и в этом противоречия заданному утверждению нет. Т.е. в целом утверждение верно.
3) Одно из основных св-в касательных к окружности заключается в том, что касательная всегда перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра этой окружности в точку касания. Оно противоречит заданному утверждению, поэтому утверждение неверно.
Ответ: 2
