В 12-ом задании мы сталкиваемся с прогрессиями — общими понятиями. Конечно, по каждой теме можно придумать очень сложные задачи, но на самом ОГЭ по этой теме они обычно простые. Главным здесь является понимание, что такое арифметическая и что такое геометрическая прогрессия.
Ответом в задании 12 является целое число или конечная десятичная дробь.
Теория к заданию №12
Начнем теоретическую справку об определениях прогрессий.
Арифметическая прогрессия:
Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией.
an+1 = an + d
где d – разность прогрессии
Геометрическая прогрессия:
Последовательность, у которой задан первый член b1 не равен 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q не равное 0, называется геометрической прогрессией.
bn+1 = bn q
где q – знаменатель прогрессии
В первом варианте я разобрал, как найти разность арифметической прогрессии, если известны два её члена. Во втором варианте разобрано нахождение неизвестного члена геометрической прогрессии из ряда членов прогрессии. В третьем варианте представлено объяснение по поиску n-ого члена арифметической прогрессии.
Разбор типовых вариантов задания №12 ОГЭ по математике.
Первый вариант задания (нахождение разности прогрессии)
Дана арифметическая прогрессия a(n) в которой
a (3) = 6,9
a (16) = 26,4
Найдите разность прогрессии.
Решение:
Чтобы найти разность прогрессии в нашем случае, нужно разделить разницу между значениями членов прогрессии на количество членов (в нашем случае — это между 3 и 16).
Находим разницу между значениями a (3) и a (16):
a (3) — a (16) = 26,4 — 6,9 = 19,5
Находим количество членов:
16 — 3 = 13
Находим разность прогрессии:
19,5 / 13 = 1,5
Ответ: 1,5
Второй вариант задания (нахождение неизвестного члена)
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
-1, x, -49, -343, ….
Найдите x.
Решение:
Для того, чтобы найти x, необходимо вначале вычислить знаменатель прогрессии — для этого необходимо разделить последующий член на предыдущий:
-343 / -49 = 7
Затем, зная знаменатель прогрессии мы можем найти x, разделив последующий член (-49) на уже известный знаменатель 7.
x = -49 / 7 = -7
Ответ: -7
Третий вариант задания (нахождение n-ого члена)
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 10, 6, 2, …
Найдите 101 член.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой, задающей арифметическую прогрессию:
an = a1 + (n-1) • d
В нашем случае:
a1 = 10
d = 6 — 10 = -4
Подставляем значения в формулу:
a101 = 10 + (101-1) • (-4) = -390
Ответ: -390
Демонстрационный вариант ОГЭ 2019
В последовательности чисел первое число равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найдите пятнадцатое число.
Решение:
В данном задании нас проверяют на знание формулы арифметической прогрессии:
где n — номер члена прогрессии, d — разность, а а1 — первый член.
Решение:
Подставим в общую формулу известные из условия значения:
d = 4,
а1 = 6,
n = 15,
получим:
a15 = 6 + (15 — 1) • 4
вычислив, получаем значение 15 члена:
a15 = 62
Ответ: 62
Четвертый вариант задания (нахождение произвольного члена геометрической прогрессии)
Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями:
b1=–2, bn+1=2bn.
Найдите b7.
Решение:
Искомый 7-й член прогрессии b7 будем искать по формуле:
b7=b1·q6. (1)
Здесь b1 по условию дано, а знаменатель q нет. Но его можно определить, исходя из определения этой величины. Согласно определению, q=bn+1/bn. Используя второе условие задачи, получим, что q=2.
Теперь используем 1-е условие задачи (b1=–2) и найдем искомую величину по формуле (1):
b7=–2·26=–2·64=–128.
Ответ: –128
Пятый вариант задания (нахождение суммы n членов геометрической прогрессии)
Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 1512; –252; 42; … Найдите сумму первых четырёх ее членов.
Решение:
Сумму произвольного кол-ва членов геометрич.прогрессии будем искать по формуле:
1-й член прогрессии известен из условия и равен b1=1512. Требуемое число членов n=4.
Знаменатель прогрессии найдем как частное двух соседних членов прогрессии (2-го и 1-го или 3-го и 2-го и т.д.). Найдем его так:
По условию b2=–252, b3=42, поэтому
Отсюда получаем:
Ответ: 1295