Задание №8 ЕГЭ по математике базового уровня с решением

Прикладная геометрия

В задании №8 ЕГЭ по математике нас ждут задания из области прикладной геометрии. Задачи простые на знания основных понятий, адаптированные под реальные жизненные ситуации. Перейдем к разбору и решению типовых заданий №8.

Разбор типовых вариантов заданий №8 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 8МБ1

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах.

Алгоритм выполнения

Определить, что за фигура на рисунке.
Вспомнить определение средней линии трапеции.
Записать формулу для нахождения средней линии трапеции.
Подставить данные.
Вычислить среднюю линию трапеции.

Решение:

Определим, что за фигура на рисунке. Для этого вспомним определение трапеции.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две не параллельны, называется трапецией.

Стороны h₁ и h₂ параллельны, остальные две стороны не параллельны. Значит перед нами трапеция. Стороны h₁ и h₂ называются основаниями трапеции.

Если перевернуть рисунок, то получим трапецию в более привычном виде.

Вспомним определение средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям.

По условию столб l закреплен посередине, следовательно, l – средняя линия трапеции.

Запишем формулу для нахождения средней линии трапеции.

Формулу нахождения средней линии трапеции можно найти в справочных материалах (полусумма оснований).

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

То есть l = ( h₁ + h₂ )/2

Подставим данные и вычислим.

l = (1,25 м + 2,25 м)/2 = (3,5 м)/2 = 1,75 м

Примечание: Десятичные дроби складывают столбиком, записав запятую под запятой.

Ответ: 1,75.

Решение в общем виде:

Столб длиной l представляет собой среднюю линию трапеции с основаниями h1 и h2, поэтому длину этого столба можно вычислить по формуле средней линии трапеции как

Выполняем деление 3,5 на 2, имеем:

Ответ: 1,75.

Вариант 8МБ2

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 2,1 м, а наибольшая высота h2 равна 3,1 м. Ответ дайте в метрах.

Алгоритм выполнения

Определить, что за фигура на рисунке.
Вспомнить определение средней линии трапеции.
Записать формулу для нахождения средней линии трапеции.
Подставить данные.
Вычислить среднюю линию трапеции.

Решение:

Определим, что за фигура на рисунке. Для этого вспомним определение трапеции.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две не параллельны, называется трапецией.

Если перевернуть рисунок, то получим трапецию в более привычном виде.

Вспомним определение средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям.

По условию столб l закреплен посередине, следовательно, l – средняя линия трапеции.

Запишем формулу для нахождения средней линии трапеции.

Формулу нахождения средней линии трапеции можно найти в справочных материалах.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

То есть l = ( h₁ + h₂ )/2

Подставим данные и вычислим.

l = (2,1 м + 3,1 м)/2 = (5,2 м)/2 = 2,6 м

Примечание: Десятичные дроби складывают столбиком, записав запятую под запятой. В данном случае удобно устно сложить целые части и дробные.

Ответ: 2,6.

Решение в общем виде:

Столб представляет собой среднюю линию трапеции с основаниями h1 и h2, поэтому длину столба l можно найти по формуле средней линии трапеции:

Ответ: 2,6.

Вариант 8МБ3

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Алгоритм выполнения

Определить что за фигура на рисунке.
Записать формулу нахождения площади данной фигуры.
Определить по чертежу все необходимые данные.
Вычислить площадь участка.

Решение:

Определим, что за фигура на рисунке.

Видно, что у данного четырехугольника две противоположные стороны параллельны.

Следовательно, перед нами трапеция.

Записываем формулу нахождения площади данной фигуры.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Определяем по чертежу все необходимые данные.

Основания трапеции – параллельные стороны.

На рисунке красным выделены основания. Обозначим их a и b.

a = 2 м( длина 2 клеточек, каждая из которых по условию 1 м х 1 м)

b = 5 м(длина 5 клеточек, каждая из которых по условию 1 м х 1 м)

Высота трапеции -отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярный им. Обозначим высоту трапеции h.

h = 3 м (длина 3 клеточек, каждая из которых по условию 1 м х 1 м)

Вычислим площадь участка.

Найдем площадь трапеции с основаниями a = 2, b = 5 и высотой h = 3:

Ответ: 10,5.

Вариант 8МБ4

Алгоритм выполнения

Определить что за фигура на рисунке.
Записать формулу нахождения площади данной фигуры.
Определить по чертежу все необходимые данные.
Вычислить площадь участка.

Решение:

Определим, что за фигура на рисунке.

Видно, что у данного четырехугольника все стороны равны, проверяем это с помощью линейки.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Следовательно, перед нами ромб.

Запишем формулу нахождения площади данной фигуры.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Определим по чертежу все необходимые данные.

Диагонали ромба – это прямые, соединяющие противоположные вершины.

На рисунке красным выделены диагонали. Обозначим их d₁ и d₂.

d₁ = 4 м(длина 4 клеточек, каждая из которых по условию 1 м х 1 м)

d₂ = 6 м(длина 5 клеточек, каждая из которых по условию 1 м х 1 м)

Вычислим площадь участка.

Нужно найти площадь ромба с диагоналями 6 и 4, получим:

Ответ: 12.

Вариант восьмого задания (демонстрационный вариант 2018)

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.

Алгоритм выполнения

Вычислить периметр прямоугольника.
Прибавить длину разделяющей части.

Решение:

Вычислим периметр прямоугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

P = 30 м + 30 м + 25 м + 25 м = 110 м.

110 м – длина забора без перегородки.

Прибавим длину разделяющей части.

По рисунку видно, что длина разделяющей части 25 м.

110 м + 25 м = 135 м.

Ответ: 135.

Вариант 8МБ5

Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00?

Алгоритм выполнения

Сначала мы найдем, сколько в градусах занимает один час.
Затем найдем угол, который образуют стрелки в 16:00

Решение:

Так как вся окружность — 360°, а часов 12, то один час:

360° : 12 = 30°

Значит в четыре часа угол будет равен:

30° • 4 = 120°

Ответ: 120°

Вариант 8МБ6

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Алгоритм выполнения

Так как перед нами изображена трапеция, то вспомним площадь трапеции: полусумма оснований умноженная на высоту.
В нашем примере большее основание равно пяти, меньшее — трем, высота равна трем, следовательно площадь участка:

Решение:

(5 + 3) : 2 • 3 = 12

Ответ: 12

Вариант 8МБ7

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 и 65 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\1.jpg$

Алгоритм выполнения

Находим периметр данного прямоугольного участка по ф-ле Р=2(a+b), где a – его длина, b – ширина.
Вычитаем из полученного числа 4 (в метрах), т.е. ширину, выделенную для проезда.

Решение:

2 · (25 + 65) = 2 · 90 = 180 (м) – периметр прямоугольного участка

180 – 4 = 176 (м) – длина забора

Ответ: 176

Вариант 8МБ8

Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\2.jpg$

Алгоритм выполнения

Приставленная к стене лестница образует с этой стеной и горизонтальной площадкой возле дома прямоугольный треугольник. Высота, на которой находится верхний конец лестницы, является одним из катетов этого треугольника. Следовательно, для нахождения ее величины нужно использовать теореме Пифагора.

Решение:

По теореме Пифагора с²=a²+b², где с – гипотенуза, a и b – катеты. Примем, что а – расстояние между нижним концом лестницы и основанием дома. Тогда b – расстояние от основания дома до верхнего конца лестницы.

В данном случае с=10, а=6. Отсюда получаем: 100-36=64, квадратный корень из 64 - 8.

Ответ: 8

Вариант 8МБ9

Какой наименьший угол (в градусах) образуем минутная и часовая стрелки часов в 11:00?

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\3.jpg$

Алгоритм выполнения

В момент времени 11:00 минутная стрелка стоит на 12, а часовая – на 11, т.е. они находятся на соседних числах циферблата. Определяем, какую часть (долю) от полного круга составляет угол между парой соседних чисел на циферблате, а затем находим, сколько эта доля составляет в градусах.

Решение:

На циферблате 12 чисел-делений. Соответственно, угол между соседними числами составляет 1/12 долю от полного круга. Поскольку полный круг равен 360⁰, то 1/12 его часть равна:

360⁰:12=30⁰.

Ответ: 30

Вариант 8МБ10

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,7 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3,2 м, а длина 5 м.

На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от значения, указанного на плане?

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\4.jpg$

Алгоритм выполнения

Находим площадь комнаты, используя параметры, полученные в результате точных измерений. Используем для этого формулу для вычисления площади прямоугольника S=ab, где a – его длина, b – ширина.
Находим разницу между полученным числом и величиной площади, указанной на плане (от большего числа отняв меньшее).

Решение:

3,2 · 5 = 16 (кв.м) – площадь комнаты, определенная на основании точных измерений

16 – 15,7 = 0,3 (кв.м) – отличие найденного значения площади от того, которое указано на плане

Ответ: 0,3

Вариант 8МБ11

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\5.jpg$

Алгоритм выполнения

Условно разбиваем план на 3 части: 1) прямоугольник из полностью окрашенных квадратов площадью 2×3 (посередине); 2) прямоугольник из частично окрашенных квадратов площадью 1×3 (слева); 3) прямоугольник из частично окрашенных квадратов площадью 2×3 (справа).
Площади участков вычисляем по ф-ле для прямоугольника. При этом учитываем, что участки слева и справы окрашены ровно наполовину. Это можно утверждать на основании того, что границы окрашивания являются диагоналями рассматриваемых прямоугольных участков.
Находим суммарную площадь.

Решение:

Площадь участка посередине (полностью окрашенного, размером 2×3 клетки) равна: 2 ·3 = 6 (кв.м).

Площадь участка слева (частично окрашенного, размером 1×3 клетки) составляет: (1 · 3) / 2 = 1,5 (кв.м).

Площадь участка справа (частично окрашенного, размером 2×3 клетки) равна: (2 · 3) / 2 = 3 (кв.м).

Общая площадь местности: 6 + 1,5 + 3 = 7,5 (кв.м).

Ответ: 7,5

Вариант 8МБ12

Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 4 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\6.jpg$

Алгоритм выполнения

Рассматриваем 2 подобных треугольника: 1) образуемый человеком и длиной его тени; 2) формируемый линией фонаря, а также расстоянием между его основанием и человеком + линией отбрасываемой им тени.
Поскольку у подобных треугольников длины соответствующих сторон пропорциональны, то формируем пропорцию, включающую искомую величину.
Вычисляем высоту фонаря.

Решение:

Обозначим через х искомую высоту фонаря.

Имеем 2 подобных прямоуг.треугольника. Первый (больший) имеет катеты 4+1=5 м и х. Второй (меньший) – 1,8 м (рост человека) и 1 м. Поскольку треугольники подобны, то можем записать: х : 5 = 1,8 : 1.

Решим полученную пропорцию: х · 1 = 5 · 1,8 → х = 9 (м) – высота фонаря.

Ответ: 9

Вариант 8МБ13

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 и 45 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь оставшейся части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\7.jpg$

Алгоритм выполнения

Находим площадь прямоугольного участка.
Находим площадь квадратного дома.
Находим разность этих площадей, отняв от большего числа меньшее.

Решение:

35 · 45 = 1575 (кв.м) – площадь всего участка

7 · 7 = 49 (кв.м) – площадь дома

1575 – 49 = 1526 (кв.м) – площадь оставшейся части участка

Ответ: 1526

Вариант 8МБ14

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\8.jpg$

Алгоритм выполнения

Рассматриваем 2 подобных треугольника. В первом стороны образуют линия фонаря и расстояние от его основания до верхней точки тени от человека. Во втором – линия роста человека и линия его тени.
Поскольку треугольники подобны, то можем соотнести соответствующие стороны и оставить из этих отношений пропорцию.
Из полученной пропорции выражаем искомую величину. Вычисляем ее.

Решение:

Обозначим искомое расстояние через х.

Из рисунка имеем 2 треугольника. Один (больший) построен на сторонах 5 м и (х+9) м. Другой (меньший) – 1,8 м и 9 м. Составим пропорцию из отношений соответствующих сторон этих треугольников:

5 : 1,8 = (х + 9) : 9.

Из пропорции получим:

5 · 9 = 1,8 · (х + 9)

1,8х + 16,2 = 45

1,8х = 28,8

х = 16 (м)

Ответ: 16

Вариант 8МБ15

Перила лестницы дачного дома для надежности укреплены посередине вертикальным способом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h₁ перил равна 0,7 м, а наибольшая h₂ равна 1,5 м. Ответ дайте в метрах.

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\9.jpg$

Алгоритм выполнения

Из рисунка можно (и нужно) заметить, что фигура, построенная на горизонтальном основании, на сторонах h₁ и h₂ и на линии перил, представляет собой лежащую на боковой стороне прямоугольную трапецию. Тогда h₁ и h₂ – основания этой трапеции.
Поскольку линия l тоже направлена вертикально, то это значит, что она параллельна h₁ и h₂. А т.к. она равноудалена от h₁ и h₂, то означает, что l является средней линией трапеции. Ср.линию трапеции найдем как ср.арифметическое ее оснований.

Решение:

L = (h₁+ h₂) / 2

L = (0,7+1,5) / 2 = 2,2 / 2 = 1,1 (м)

Ответ: 1,1

Вариант 8МБ16

$C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\10.jpg$

Алгоритм выполнения

На плане изображен ромб. Условно разбиваем его на 4 части диагоналями, т.е. парой отрезков, соединяющих вертикальные вершины ромба и горизонтальные. Эти части равны в соответствии со свойствами ромба. Тогда общую площадь на плане будем вычислять как сумму 4 одинаковых частей плана, охватываемых прямоугольниками 1×3 клетки.
Каждая из 4 частей представляет собой половину площади прямоугольника 1×3 клетки. Это именно так, поскольку ее граница на плане (сторона ромба) является диагональю прямоугольника, в котором она размещается.

Решение:

Обозначим общую площадь на плане через S, каждую из 4-х одинаковых частей, на которые эта площадь разделена, – через S₁. Тогда S = 4S₁.

Т.к. каждая часть охватывает половину участка 1×3 клетки, то S₁ = (1 · 3) / 2 =1,5 (кв.м). поэтому S = 4 · 1,5 = 6 (кв.м).

Ответ: 6