Задачи с параметром


В 18 задании —  предпоследнем задании профильного уровня ЕГЭ по математике — необходимо продемонстрировать умение решать задачи с параметрами. В подавляющем большинстве данное задание представляет собой систему из двух уравнений с параметром а, и необходимо найти такие значения, при которых система будет вести себя заданным образом — иметь два или одно или вообще не иметь решений.


Разбор типовых вариантов заданий №18 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение:

  • (|x|–5)2+(y–4)2=4
  • (x–2)2+y2=a2
Алгоритм решения:
  1. Рассматриваем второе уравнения, устанавливаем, что является его графиком.
  2. Определяем условие единственности решения.
  3. Находим расстояние между центрами, определяем значения параметра.
  4. Записываем ответ.
Решение:

1. Первое уравнение — это две окружности радиусами 3 и координатами центров С 2(5;4) и С2(-5;4). Одну окружность задает данное уравнение при х≥0, а вторую – при х<0. Они не пересекаются и не касаются.

2. Второе уравнение — это одна окружность радиуса «а» с координатами центра: С (-2;0).

3. Наличие единственного решения означает, что одна окружность должна коснуться одной из окружностей в одной точке. Поэтому следует решить попарно две системы.

Первая:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Вторая:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Естественно, в первом и втором случае получается пара корней т. е. координат касания внешним и внутренним образом.

Но стоит заметить что нас будут интересовать только корни определяющие касание внешнее левой окружности и касание внутреннее правой окружности. Т. к. два других уравнения противоречить условию и будут иметь более одного решения. Достаточно взглянуть на прилагаемый рисунок:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

4. Воспользуемся приложенным рисунком.

Проведем лучи СС1, и СС2, обозначив точки их пересечения с окружностями А1, В1 и А2, В2.
Тогда

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Если a<CA2 или CA2<a<CB2 окружности не пересекаются. А это означает, корней система иметь не может.

5. Имеем: исходная система имеет единственное решение при

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Ответ: Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня


Второй вариант (из Ященко, №1)

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_18.files/image001.gif

имеет ровно один корень.

Решение:

Данное уравнение равносильно виду:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Рассматриваем случай:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня  при условии Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Получаем Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня .

При этом значении х условие принимает вид:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Отсюда

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Имеем в данном случае: Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня  при Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Рассмотрим теперь случай:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня ,

при этом Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Решаем уравнение. Получаем:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Отсюда Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Условие Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня принимает вид:

Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня

Следовательно, получается Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня . То есть Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня  при Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Корни Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня  и Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня  равны между собой, если Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Таким образом, уравнение имеет только один корень если Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня  и Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Ответ: Задание №18 ЕГЭ по математике профильного уровня