Задание №23 ОГЭ по математике

Анализ графика функции

---

Разбор типовых вариантов заданий №23 ОГЭ по математике

---

Первый вариант задания

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.

Если  . 

Если  

2. График функции  заданных значениях х — часть параболы, ветви которой направлены вниз.

Вершина расположена в точке с координатами: 

Найдем нули функции:  График проходит через начало координат и точку (-2;-7).

Графиком второй функции  является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы 

3. Изображаем график функции на координатной плоскости:

4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.

Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.

Ответ: -2,25; 12,25.

---

Второй вариант задания

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:

2. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз.

Вершина ее находится в точке : 

Найдем нули функции:  График проходит через начало координат и точку (0;4).

Графиком второй функции  является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы 

3. Изображаем график на координатной плоскости:

Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.

Ответ: -9; 4.

---

Третий вариант задания

Алгоритм решения:

1. Преобразуем формулу, которая задает функцию.
2. Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
3. Изображаем график на координатной плоскости.
4. Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем формулу функции в зависимости от знака переменной

2. Определяем вид функции и находим дополнительные точки для каждого участка графика.

График при  — часть парабола, ветви которой направлены вниз. Потому как коэффициент а=-1 – отрицательный.

Определим вершину параболы   и  .

Вершина находится в точке (-3; 9).

Парабола проходит еще через точки (0;0) и (0;6).

Если  , ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину:

 ,   (2; -4).

График проходит также через точки (0;0) и (0;4).

3. Строим искомый график:

Из построения видно, что прямая y=m имеет только 2 общие точки с графиком функции в случаях, когда m=-4 или m=9. На рисунке прямые изображены красным цветом.

Ответ: -4; 9.

---

Четвертый вариант задания

Алгоритм решения:

1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
3. Строим график.
4. Определяем искомые значения k.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Если x < 0, то

Дробь, получившаяся в результате, определена  . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x	-5	-4	-3	-2
y	-1/5	-1/4	-1/3	-1/2

2. Если x > 0, то

Функция определена при  График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x	2	3	4	5
y	-1/2	-1/3	-1/4	-1/5

3. Построим график заданной функции:

4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.

На графике прямые для k=-1; 1изображены красным.

При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс и тоже не имеет общих точек с графиком функции.

Ответ: -1; 0; 1.

---

Пятый вариант задания

Алгоритм решения:

1. Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
2. Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
3. Строим график.
4. Определяем искомые значения k.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Раскрываем модуль и для каждого случая.

Если x < 0, то

определена при   и представляет собой часть гиперболы. Дополнительные точки для построения:

x	-5	-4	-3	-2	-1
y	-1/5	-1/4	-1/3	-1/2	-1

2. Если x > 0, то

определена при  и представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

x	1	2	3	4	5
y	-1	-1/2	-1/3	-1/4	-1/5

3. Изображаем график:

Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком данной функции, когда k=-16; 0 и 16. Тогда прямые проходят черед точки с абсциссами ¼ и — ¼ . На рисунке эти прямые изображены красным.

При k = 0 прямая совпадает с осью абсцисс. Она тоже не имеет общих точек с графиком.

Ответ: -16; 0; 16.

---

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Разложим числитель дроби на множители:

При x ≠2 и x ≠ 3 функция принимает вид:

её график — парабола, из которой выколоты точки ( -2; -4) и ( 3; 6).

Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая.
Вершина параболы имеет координаты ( -0,5; -6,25 ).
Поэтому c = — 6,25, c = — 4 или c = 6.

Ответ: c = — 6,25, c = — 4 или c = 6.