Элементарные математические вычисления
В задании №1 ЕГЭ по математике базового уровня необходимо провести элементарные вычисления — сложение, вычитание, деление и умножение дробей. Ответом в первом задании является целое число или конечная десятичная дробь.
Тематика заданий: элементарные математические вычисления
Бал: 1 из 20
Сложность задания: ♦◊◊
Примерное время выполнения: 3 мин.
Разбор типовых вариантов заданий №1 ЕГЭ по математике базового уровня
Во всех заданиях необходимо найти значение выражения.
Вариант 1МБ1
Алгоритм решения:
- Определить порядок действий.
- Выполнить действия в скобках.
- Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
- Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
- Произвести действия в числителе.
- Знаменатель оставить наименьший общий.
- Умножить числитель получившейся дроби на 9.
- Полученный результат сократить и преобразовать в десятичную дробь.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым всегда выполняется действие в скобках, в данном случае вычитание.
Преобразуем смешанное число
в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель, и прибавим числитель
3 • 15 + 1 = 46
Запишем результат в числитель, знаменатель оставим без изменения.
Действие в скобках примет вид:
Ищем наименьший общий знаменатель для дробей 4/9 и 46/15. 15 не делится на 9, удвоим наибольший знаменатель. 30 не делится на 9. утроим наибольший знаменатель, 45 делится на 9. Следовательно, 45 делится одновременно и на 15, и на 9. То есть 45 – наименьший общий знаменатель дробей 4/9 и 46/15.
Приводим дроби к общему знаменателю – 45. Для этого по основному свойству дроби необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, чтобы дробь не изменилась. Это число называется дополнительным множителем. Дополнительный множитель к первой дроби — 5 (9*5=45). Чтобы получить в знаменателе первой дроби 45 необходимо умножить на 5 и числитель и знаменатель.
Вторую дробь умножим на 3 (15 • 3=45)
Действие в скобках после преобразования будет выглядеть так:
Произведем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого в числителе запишем вычитание числителей, а знаменатель оставим без изменений.
Выполним действие за скобками, в данном случае умножение на целое число. Для этого умножим числитель дроби на 9, а знаменатель оставим без изменений. Числитель и знаменатель полученной дроби сократим на 9, то есть разделим и числитель и знаменатель дроби на 9. По основному свойству дроби дробь не изменится.
Минус в числителе выносится за дробную черту.
Полученную дробь преобразуем в десятичную, поделив в столбик.
Не забудьте о знаке «минус» в ответе.
Ответ: 23,6
Вариант 1МБ2
Алгоритм решения:
- Определить порядок действий.
- Выполнить действие в скобках.
- Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
- Выполнить вычитание числителей, знаменатель оставить без изменений.
- Выполнить деление. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае вычитание.
Для того чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 4, и на 9. 9 на 4 не делится. Удвоим больший знаменатель: 18 не делится на 4. Утроим больший знаменатель: 27 не делится на 4. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 36 делится и на 9, и на 4 одновременно. Следовательно, 36 – наименьший общий знаменатель для дробей 1/4 и 2/9.
Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.
Найдем дополнительные множители для дробей 1/4 и 2/9. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 1/4 нужно умножить на 9(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36. Дробь 2/9 нужно умножить на 4 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36.
В результате получим:
Действие в скобках примет вид:
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем из числителя первой дроби числитель второй, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.
Выполним действие за скобками. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Сократим (разделим и числитель и знаменатель) полученную дробь на 12.
Ответ: 21
Вариант 1МБ3
Алгоритм решения:
- Определить порядок действий.
- Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
- Перевести смешанное число в неправильную дробь.
- Привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю.
- Выполните сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложить числители, результат записать в числитель, знаменатель оставить без изменений.
- Выполнить деление.
- Перевести смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
- Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй – записать в числитель. Знаменатель первой дроби умножить на числитель второй результат записать в знаменатель.
- Сократить получившуюся дробь.
- Привести результат к десятичному виду.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
Нужно сложить смешанное число и правильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
Действие в скобках примет вид:
Для того, чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 5, и на 7. 7 на 5 не делится. Удвоим больший знаменатель: 14 не делится на 5. Утроим больший знаменатель: 21 не делится на 5. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 28 не делится 5. Увеличим больший знаменатель в 5 раз: 35 делится одновременно и на 5, и на 7. Следовательно, 35 – наименьший общий знаменатель для дробей 9/5 и 3/7.
Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.
Найдем дополнительные множители для дробей 9/5 и 3/7. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 9/5 нужно умножить на 7(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35. Дробь 3/7 нужно умножить на 5 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35.
В результате получим:
Действие в скобках примет вид:
Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложим числители, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.
Выполним действие за скобками. Переведем смешанное число в неправильную дробь, для этого целую часть нужно умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
Выполнить деление дробей. Числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Сократим (разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число) полученную дробь на 39.
Переведем полученную дробь в десятинную.
Ответ: 8,75
Вариант 1МБ4
(6,7 − 3,2) ⋅ 2,4
В данном случае первым действием мы выполняем вычитание в скобках, а затем производим умножение:
6,7 − 3,2 = 3,5
3,5⋅ 2,4 = 8,4
Отдельно остановлюсь на последнем действии. Его можно вычислить умножением в столбик, либо посчитать устно, воспользовавшись следующими логическими операциями:
2,4 ⋅ 3 + 2,4 ⋅ 0,5 = 2 ⋅ 3 + 0,4 ⋅ 3 + 2,4/2 = 6 + 1,2 +1,2 = 8,4
Ответ: 8,4
Вариант 1МБ5
В данном случае необходимо выполнить сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель для дробей в скобках — 15 (если вы забыли как определять общий знаменатель, смотрите здесь). Первую дробь домножаем на 5, вторую на 3. Получаем:
(5 + 3)/15
После сложения:
8/15
Теперь выполняем умножение:
8•6/15 = 48/15
В таком варианте дробь в ответ записать мы не можем, выделяем сначала целую часть, это 3 (45/15=3), в остатке получим:
3/15
После сокращения на 3:
1/5
и перевода в десятичный вид:
1/5 = 20/100 = 2/10 = 0,2
Не забываем про целую часть и получаем ответ:
3,2
Ответ: 3,2
Вариант 1МБ6
- Если представить черту дроби в виде знака деления, то получим выражение: (2,7+5,8):6,8. Отсюда получаем приоритет действий: 1) сложение в скобках; 2) деление. Поэтому сначала выполняем действие в числителе.
- Избавляемся от десятичных запятых в числителе и знаменателе. Для этого применяем основное свойство дроби и умножаем числитель и знаменатель на 10.
- Делим 85 на 68 в столбик.
Решение
Ответ: 1,25
Вариант 1МБ7
- Учитываем приоритетность операций. Здесь 1-м действием выполняется умножение, а затем вычитание.
- При умножении числа записываем друг под другом, выровняв их по последней цифре. В результирующем числе отделяем столько знаков после запятой, сколько имеется суммарно в обоих множителях. В данном случае нужно отделить 2 знака.
- При выполнении вычитания в столбик числа располагают так, чтобы десят.запятые располагались на друг под другом.
Решение
Ответ: 26,7
Вариант 1МБ8
- Умножаем 1/5 на 5,5. При этом 5,5 переходит в числитель дроби.
- Выполняем сокращение полученной дроби на 5. Получаем десят.дробь
- Находим конечную разность.
Решение
Ответ:0,1
Вариант 1МБ9
- Находим разность в скобках. Для этого находим НОК (25, 38) и приводим дроби к общему знаменателю.
- Делим результат в скобках на дробь 6/19. Для этого переходим к умножению дробей, перевернув 9/16 и получив 16/9. Далее сокращаем множители в числителе и знаменателе и находим результирующую дробь.
- Полученную дробь записываем в десят.виде.
Решение
Ответ: — 0,07
Вариант 1МБ10
- Делим первые 2 дроби. Для этого переходим к их умножению, перевернув вторую (2/7).
- Выполняем вычитание получившейся дроби и третьей (11/6).
- Делим числитель результата на знаменатель.
Решение
Ответ: 4
Вариант 1МБ11
- Выполняем сложение в знаменателе. Получим обыкновенную дробь 10/9.
- Представим 2 в числителе как дробь 2/1. Запишем полученные дроби рядом, используя знак «:».
- Перейдем от деления этих дробей к их умножению, перевернув 10/9.
- Выполняем сокращение и находим результирующую дробь.
- Делим числитель на знаменатель, получаем ответ в виде десят.дроби.
Решение
Ответ: 1,8
Вариант 1МБ12
- Вычитаем дроби в знаменателе, приведя их к общему знаменателю 30.
- Выполняем деление 1 на полученную дробь. Для этого переворачиваем ее.
Решение
Ответ: 30
Вариант 1МБ13
- Выполняем деление. Для этого вторую дробь (2/3) переворачиваем и переходим к умножению дробей. Сокращаем 3 в числителе и 6 в знаменателе на 3, выполняем умножение.
- Находим сумму 5/4 и полученной дроби.
Решение
Ответ: 3
Вариант 1МБ14
- Вычитаем дроби в скобках. Полученную дробь сокращаем.
- Выполняем деление. Для этого переходим к умножению, перевернув дробь-делитель.
Решение
Ответ: 30
Вариант 1МБ15
- Выполняем деление. Делаем это в столбик, перенеся десятичную запятую на 1 разряд вправо в обоих числах.
- Находим результирующую сумму, прибавив целые и дробные части слагаемых.
Решение
Ответ: 3,8