Задание №16 ЕГЭ по математике базового уровня с решением

Стереометрия

В задании №16 базового уровня ЕГЭ по математике нам предстоит столкнуться со стереометрией. Как таковой «стереометрии» мы не встретим, обычно условие задания содержит объемную фигуру, в которой нам необходимо найти какое-либо расстояние. В данном задании необходимо правильно применить пространственное мышление и выбрать нужное сечение, остальные расчеты происходят в плоскости, причем по несложным формулам (теорема Пифагора и т.д.). Какой-либо конкретной теории я пока приводить не буду, а рассмотрю типовые варианты, на которых мы и рассмотрим алгоритмы решения задач данного типа.

Разбор типовых вариантов заданий №16 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 16МБ1

Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Алгоритм выполнения:

Определить тип фигуры, образующей сечение.
Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей сечение.
Вычислить недостающие данные.
Вычислить искомую площадь сечения.

Решение:

Из рисунка видно, что сечение является прямоугольником, одна из сторон которого образующая цилиндра.

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху:

Ширина прямоугольника – CD.

По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12.

СD = СВ + ВD. СВ = ВD

Рассмотрим треугольник ВСА. Треугольник ВСА – прямоугольный.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае СА² = СВ² + АВ²

СВ²— неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

СВ² = СА² — АВ²

СВ = √(СА² — АВ²)

СВ = √(13² — 12²) = √(169 — 144) = √25 = 5

Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10

Вычислим искомую площадь сечения.

10 · 18 = 180

Ответ: 180.

Вариант 16МБ2

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:

Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
Найти площади треугольников.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=24:2=12.

Рассмотрим треугольник АВН.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае АВ² = ВН² + АН²

ВН²— неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН² = АВ² — АН²

Следовательно, высота BH, равна:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

Ответ: 1260.

Вариант 16МБ3

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Алгоритм выполнения:

Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.
Найти площади треугольников.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Проанализируем, какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 17, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность.

Найдем площади треугольников.

Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит сторону AC пополам, то есть, AH=AC:2=16:2=8.

Рассмотрим треугольник АВН.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае АВ² = ВН² + АН²

ВН²— неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

ВН² = АВ² — АН²

Следовательно, высота BH, равна:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Тогда, площадь треугольника может быть вычислена как

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников. Найдем ее площадь:

Ответ: 360.

Вариант 16МБ4

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17.

Вспомним формулу площади правильной пирамиды — одна треть от произведения площади основания и высоты.

Площадь основания рассчитываем по формуле площади квадрата — квадрат стороны:

После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH — половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ равна 4√2, ну а половина — AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту:

После этого легко вычисляем объем:

V = 1/3 • 16 •3 = 16

Ответ: 16

Вариант 16МБ5

В треугольной пирамиде АВСD ребра АВ, АС и АD взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если АВ=2, АС=15 и AD=11.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.23306\Рисунки к Базе №16\1.jpg$

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для определения объема пирамиды.
Находим площадь основания по формуле для площади прямоугольного треугольника.
Показываем, что высота пирамиды совпадает с ребром AD. Вычисляем искомый объем.

Решение:

Объем пирамиды:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_3.png$

Т.к. в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами АВ и АС (по условию АВ перпендикулярно АС), то S_осн=АВ·АС/2.

Получаем:

S_осн=2·15/2=15.

Т.к. AD перпендикулярно АВ и АС и пересекается с ними в одной точке, то (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды.

Значит AD – высота пирамиды. Т.е. Н=AD=11.

Отсюда имеем:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1.png$

Вариант 16МБ6

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА₁В₁С₁.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.2345\Рисунки к Базе №16\2.jpg$

Алгоритм выполнения

Находим площадь основы призмы через формулу для площади правильного треугольника.
Записываем формулу для объема призмы. Подставляем в нее числовые данные, вычисляем искомую величину.

Решение:

Площадь правильного треугольника равна:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2 - копия.png$

Здесь а – сторона основания призмы.

Вычислим площадь:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2.png$

Объем призмы: V=Sh, где h – высота призмы, S– площадь ее основания (в нашем случае – площадь правильного треугольника, лежащего в основании).

Вычисляем объем:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1.png$

Вариант 16МБ7

Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.8885\Рисунки к Базе №16\3.jpg$

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем площадь основания.
Площадь основания расписываем по формуле площади круга, поскольку именно круг лежит в основании конуса.
Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем ее.

Решение:

Объем конуса равен:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2 - копия.png$

Отсюда:

S_осн=3V/h.

Площадь круга составляет:

S=πR².

Поскольку в данном случае S_осн=S, то πR²=3V/h.

Получаем:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2.png$

Вариант 16МБ8

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.10658\Рисунки к Базе №16\4.jpg$

Алгоритм выполнения

Определяем, что образующая цилиндра – это одна из сторон сечения-прямоугольника. Вводим обозначения для точек, которые необходимы для выполнения расчетов. Получаем, что образующая – это отрезок DK.
Делаем дополнительное построение – соединяем точки О и А в основании цилиндра. Получаем прямоугольный ∆АВО. $C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.12750\Рисунки к Базе №16\4_1.jpg$
Из ∆АВО по т.Пифагора находим значение АВ. Этот отрезок – половина AD. Отсюда находим AD.
Зная величину DK и AD, вычисляем площадь сечения-прямоугольника.

Решение:

Поскольку образующая цилиндра и его высота совпадают, то DK=14. Это – одна из сторон прямоугольника, форму которого и имеет сечение.

Найдем 2-ю сторону этого прямоугольника. Из прямоугольного ∆АВО по т.Пифагора АО²=АВ²+ВО².

Отсюда

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1.png$

АО – радиус основания, поэтому АО=15. ВО=12, поскольку ВО – это расстояние от оси до плоскости сечения.

Тогда имеем:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2.png$

AD=2AB=2·9=18.

Площадь сечения равна:

S=AD·DK=18·14=252.

Вариант 16МБ9

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра DA, DC и диагональ DA₁ боковой грани равны соответственно 3, 5 и √34. Найдите объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.19763\Рисунки к Базе №16\5.jpg$

Алгоритм выполнения

Соединяем вершины А₁ и D. Получаем прямоугольный ∆А₁АD. Из этого треугольника находим АА₁. $C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.25227\Рисунки к Базе №16\5_1.jpg$
Записываем формулу для вычисления объема параллелепипеда. Находим значение для объема.

Решение:

Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁ параллелепипед, то угол А₁АD равен 90⁰. Поэтому ∆А₁АD – прямоугольный. Тогда по т.Пифагора А₁А²+AD²=A₁D². Отсюда получаем:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2.png$

Объем параллелепипеда найдем по формуле:

V=AD·DC·AA₁.

Тогда имеем:

V=3·5·5=75.

Вариант 16МБ10

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые ребра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.26351\Рисунки к Базе №16\6.jpg$

Алгоритм выполнения

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.29493\Рисунки к Базе №16\6_1.jpg$

Записываем формулу для площади боковой поверхности через периметр основания и апофему.
Находим периметр треугольника, лежащего в основании пирамиды.
Доказываем, что апофема является не только высотой, но и медианой для боковой стороны пирамиды.
Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания, по т.Пифагора находим величину апофемы.
Вычисляем площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1 - копия (2).png$

Находим периметр основания:

Р_осн=3х, где х – сторона основания.

Р_осн=3·16=48.

Т.к. пирамида правильная, то ее боковые грани – равнобедренные треугольники. Тогда апофема, которая является высотой боковой грани, проведенной к основанию, является еще и медианой. Значит, SB – медиана и АВ=АС/2=16/2=8.

Из прямоугольного ∆ABS по т.Пифагора АВ²+SB²=AS².

Отсюда:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1 - копия.png$

Т.е. апофема а=15.

Получаем:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1.png$

Вариант 16МБ11

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.33446\Рисунки к Базе №16\7.jpg$

Алгоритм выполнения

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.36055\Рисунки к Базе №16\7_1.jpg$

Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту.
Находим площадь основания, учитывая, что в основании пирамиды лежит квадрат.
Находим диагональ квадрата, лежащего в основании, как гипотенузу из ∆АВС. Используем для этого т.Пифагора Делим полученную величину пополам.
Из треугольника, построенного на половине диагонали основания, высоте пирамиды и ее боковом ребре, по т.Пифагора определяем высоту.
Вычисляем объем.

Решение:

Объем пирамиды:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_3.png$

Т.к. пирамида правильная, то четырехугольник в ее основании – это квадрат. Поэтому S_осн=а², где а – сторона основания.

Имеем:

S_осн=8²=64.

Из прямоугольного ∆АВС по т.Пифагора АС²=АВ²+ВС².

Отсюда:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2 - копия (2).png$

Тогда АК=АС/2=4√2.

Из прямоугольного ∆АКS по т.Пифагора AS²=AK²+SK².

Получаем:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2 - копия.png$

Т.е. Н=3.

Значит, объем пирамиды составляет:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2.png$

Вариант 16МБ12

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.39092\Рисунки к Базе №16\8.jpg$

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для объема прямоугольного параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро. Вычисляем величину этого ребра.
Записываем формулу для площади поверхности. Подставляем в него числовые данные, находим искомое значение.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен:

V=abc, где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно.

Тогда из этой формулы:

с=V/(ab).

Получаем:

с=280/(8·5)=7.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется так:

S=2(ab+bc+ac).

Отсюда имеем:

S=2(8·5+5·7+8·7)=2(40+35+56)=2·131=262.

Вариант 16МБ13

Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.41999\Рисунки к Базе №16\9.jpg$

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем высоту.
Записываем формулу для площади круга, лежащего в основе конуса. Вычисляем эту площадь.
Подставляем числовые данные в формулу для объема, вычисляем искомую величину.

Решение:

Объем конуса составляет:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2 - копия.png$ .

Отсюда:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1 - копия.png$

Площадь основания (как площадь круга) равна:

S_осн=πR².

Вычисляем площадь:

Sосн=π·2²=4π.

Тогда высота конуса:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1.png$

Вариант 16МБ14

Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если ее объем равен 60.

$C:\Users\DDD3~1\AppData\Local\Temp\Rar$DRa5976.44527\Рисунки к Базе №16\10.jpg$

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для объема пирамиды через площадь ее основания и высоту. Из нее выражаем высоту.
Находим площадь основы-прямоугольника.
Подставляем числовые данные в формулу для высоты, вычисляем искомую величину.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется так:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_2 - копия.png$ Отсюда:

$C:\Users\Ксенья\Documents\Lightshot\Screenshot_1 - копия.png$

S_осн=ab, a и b – стороны прямоугольника, лежащего в основе пирамиды.

Следовательно:

S_осн=3·12=36.

Тогда получаем: