Квадратная решетка и координатная плоскость
В задании №3 профильного уровня ЕГЭ по математике мы будем работать с фигурами на квадратных решетках — вычислять параметры фигур — стороны или площади, а также расстояния между точками. Приступим непосредственно к разбору типовых вариантов.
Разбор типовых вариантов заданий №3 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите площадь.
Алгоритм решения:
- Подсчитываем длину основания и высоты.
- Записываем формулу вычисления площади.
- Вычисляем площадь.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Подсчитываем длины основания и высоты:
основание = 6,
высота = 2.
2. Записываем формулу площади треугольника: S= ah|2.
3. Вычисляем площадь: S= 6∙2/2=6
Ответ: 6.
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Алгоритм решения:
- Подсчитываем длину каждого основания и высоты трапеции.
- Записываем формулу длины средней линии трапеции.
- Вычисляем среднюю линию.
- Записываем ответ.
Решение:
1. По условию задачи каждая клетка представляет одну единицу длины. Тогда меньшее основание равно 3, большее – 4.
2. Длина средней линии трапеции находится по формуле
, где a и b – длина верхнего и нижнего оснований трапеции.
3. Имеем:
.
4. Значит, средняя линия равна 3,5.
Ответ: 3,5.
Третий вариант задания (из Ященко, №2)
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Алгоритм решения:
- Подсчитываем длину каждого основания и высоты трапеции.
- Записываем формулу длины средней линии трапеции.
- Вычисляем среднюю линию.
- Записываем ответ.
Решение:
1. По условию задачи каждая клетка представляет одну единицу длины. Тогда меньшее основание равно 2, большее – 6.
2. Длина средней линии трапеции находится по формуле
, где a и b – длина верхнего и нижнего оснований трапеции.
3. Имеем: 
4. Значит, средняя линия равна 4.
Ответ: 4.
Четвертый вариант задания (из Ященко, №4)
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.
Алгоритм решения:
- Проведем перпендикуряры из вершин Аи С.
- Построим биссектрису угла В.
- Покажем, что биссектриса параллельна высотам.
- Измерим длину биссектрисы.
- Запишем ответ.
Решение:
1. Проведем из вершин А и С отрезки АВ1 иСВ2, перпендикулярные прямой, содержащей вершину В на рисунке.
2. Построим биссектрису угла B.
3. Рассмотрим треугольники АВВ1 иВВ2С. Они прямоугольные, тогда из соотношений в прямоугольных треугольниках
Это означает, что углы АВB1 и СВB2 равны, так как равны тангенсы этих углов.
Раз равны углы, то стороны AB и BC расположены под одним углом относительно вертикали (На рисунке она проведена синим). Эта вертикаль является биссектрисой. Длина биссектрисы по рисунку равна 3.
Ответ: 3.
Пятый вариант задания (из Ященко, №7)
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Алгоритм решения:
- Рассмотрим рисунок и измерим основания.
- Проведем высоту.
- Запишем формулу площади трапеции.
- Вычислим площадь по формуле.
Решение:
1. На рисунке основания равны 3 и 8.
2. Опустим высоту. Она рана 3.
3. Формула трапеции: S=h(a+b)/2, где a,b – основания, h – высота.
4. Вычислим площадь, подставив значения: S=3∙(3+8)/2=16,5
Следовательно, площадь данной трапеции равна 16,5.
Ответ: 16,5.
