Задание №13 ОГЭ по математике

В тринадцатом задании ОГЭ по математике модуля Алгебра у нас проверяют знания преобразований — правила раскрытия скобок, выноса переменных за скобки, приведение дробей к общему знаменателю и знания формул сокращенного умножения.

Суть задания сводится к упрощению заданного в условии выражения: не стоит сразу подставлять значения в исходное выражение. Необходимо сначала упростить его, а затем подставить значение — все задания построены таким образом, что после упрощения требуется совершить всего одно или два простых действия.

Необходимо учитывать допустимые значения переменных, входящие в алгебраические выражения, использовать свойства степени с целым показателем, правила извлечения корней и формулы сокращенного умножения.

Ответом в задании является целое число или конечная десятичная дробь.

---

Теория к заданию №13

---

Прежде всего вспомним, что такое степень и правила обращения со степенями:

Кроме этого, нам понадобятся формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности

(a — b)² = a² — 2ab + b²

Разность квадратов

a² – b² = (a + b)(a – b)

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб разности

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)( a² — ab + b²)

Разность кубов

a³ – b³ = (a – b)( a² + ab + b²)

Правила операций с дробями:

---

Разбор типовых вариантов задания №13 ОГЭ по математике

---

Первый вариант задания

Решение:

В данном случае, как и почти во всех заданиях №7, необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:

(x + 5)² — x (x — 10) = x² + 2 • 5 • x + 25 — x² + 10x

Затем приведем подобные слагаемые:

x² + 2 • 5 • x + 25 — x² + 10x = 20 x + 25

Далее подставим x из условия:

20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24

Ответ: 24

---

Второй вариант задания

Решение:

В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.

Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй — в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:

Далее выносим из числителя второй дроби a:

Сокращаем (a-b):

И получаем:

a/2

Подставляем значение a = 13:

13 / 2 = 6,5

Ответ: 6,5

---

Третий вариант задания

Решение:

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю.

Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления.

Вычислим числитель:

5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим:

— 1 / 5 y

Подставим значение y = 0,5:

— 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 =  — 0,4

Ответ: — 0,4

---

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Решение:

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа.

Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

9b² + 5a — 9b²

Приведем подобные слагаемые — это 9b² и  — 9b², в числителе остается 5a.

Запишем конечную дробь:

5a/b

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

5•9/36 = 1,25

Ответ: 1,25

---

Четвертый вариант задания

Решение:

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его.

1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по ф-ле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Ответ: 0,6

---

Пятый вариант задания

Решение:

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя ф-лу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b):

Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений):

Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат:

Ответ: 39