Уравнения


В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.


Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня


Первый вариант задания (демонстрационный вариант2018)

а) Решите уравнение cos2x = 1-cos(п/2-x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2;-п].

Алгоритм решения:

Пункт а)

  1. При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
  2. Заменяем эту функцию переменной и решаем получившееся квадратное уравнение.
  3. Делаем обратную замену и решаем простейшие тригонометрические уравнения.

Пункт б)

  1. Строим числовую ось.
  2. Наносим на нее корни.
  3. Отмечаем концы отрезка.
  4. Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
  5. Записываем ответ.
Решение:

Пункт а)

1. Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения cos(π/2−x)=sinx. Имеем:

сos2x = 1 – sin x.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:

cos(2х)=1−2sin2 х

Получаем такое уравнение: 1−sin 2x=1− sinx

Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx.

2. Вводим замену: t = sinx. Решаем получившееся квадратное уравнение:

1−2t2=1−t,

−2t2+t=0,

(−2t+1)=0,

t = 0 или -2t + 1 = 0,

t= 0  t= 1/2.

3. Делаем обратную замену:

sin = 0 или sin x = ½

Решаем эти уравнения:

sin x =0↔x=πn, nЄZ

sin(x)=1/2↔x= (-1)n∙(π/6)+ πn, nЄZ.

Следовательно, получаем два семейства решений.

Пункт б):

1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.

2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).

atan1011reshf2-292.png

3. Красным цветом помечаем концы промежутка.

4. В указанном промежутке расположены три корня что три корня: −2π;−11π/6 и −7π/6.

Ответ:

а) πn, nЄZ; (-1)n∙(π/6)+ πn, nЄZ

б) −2π;−11π6;−7π6


Второй вариант задания (из Ященко, №1)

а) Решите уравнение Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Алгоритм решения:

Пункт а)

  1. Заменяем эту функцию переменной и решаем получившееся квадратное уравнение.
  2. Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, потом тригонометрические уравнения.

Пункт б)

  1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
  2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
  3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.
  4. Записываем ответ.
Решение:

Пункт а)

1. Вводим замену t = 4cos х. тогда уравнение примет вид:

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Решаем квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

D=b2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t1= (9 – 7)/8= ¼, t2 = (9+7)/8=2.

3. Возвращаемся к переменной х:

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Пункт б)

1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.

2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.

3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка..

http://self-edu.ru/htm/2018/ege2018_36/files/1_13.files/image008.jpg

Это корни Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня . Их два.

Ответ:

а) Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

б) Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня


Третий вариант задания (из Ященко, № 6)

а) Решите уравнение Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Алгоритм решения:

Пункт а)

  1. При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
  2. Заменяем эту функцию переменной и решаем получившееся квадратное уравнение.
  3. Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, а затем тригонометрические уравнения.

Пункт б)

  1. Решаем неравенства для каждого случая.
  2. Записываем ответ.
Решение:

а)

1. По формулам приведения Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня .

2. Тогда данное уравнение примет вид:

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

3. Вводим замену Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня . Получаем:

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Оба корня положительны.

3. Возвращаемся к переменной х:

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Получили четыре семейства корней. Их бесконечно много.

б)

4. С помощью неравенств находим те корни, которые принадлежащие отрезку Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня :

Для корней

Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня   Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Получаем одно значение Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Для корней Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня   Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня ни одного значения корней нет.

Для корней Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня   Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня есть одно значение Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня ;

Для корней Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня   Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня есть одно значение Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня .

Ответ:

а) Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня ; Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня ;

б) Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня.