Задачи с треугольниками
Разбор типовых вариантов заданий №24 ОГЭ по математике
Первый вариант задания
Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж по условию задания.
- Находим угол А в данном треугольнике.
- Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС
- Определяем ВС.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи.
2. Определим угол А: ∠А=1800 —710—790 = 300.
3. Пусть R — радиус описанной окружности, тогда по следствию из теоремы синусов получаем:
4. Тогда, при подстановке в равенство полученных данных, получаем: ВС равно произведению сторон АВ и АС на синус угла А, который равен 300. Следовательно ВС=2∙8∙0,5=8.
Ответ: 8.
Второй вариант задания
Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 72° и 78°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж по условию задания.
- Находим угол А в треугольнике.
- Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
- Определяем ВС.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи.
2. Рассматриваем треугольник ABC. В нем определяем угол A:
∠А=1800—∠В —∠С, откуда
∠А=1800 —710—790 = 300.
3. По теореме синусов и следствию из нее:
где R – радиус описанной окружности.
Имеем:
4. Определяем ВС из полученного равенства:
Ответ: 17.
Третий вариант задания
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж по условию задания.
- Определяем угол А.
- Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
- Определяем ВС.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Делаем чертеж, соответствующий условию задания.
2. Найдем угол А треугольнике ABC:
3. Радиус R описанной окружности вокруг треугольника связан с длиной BC и синусом угла A выражением, которое является следствием теоремы синусов:
Отсюда получаем:
Ответ: 15.
Четвертый вариант задания
Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 18.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж.
- Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
- Определяем вид треугольника AFB.
- Находим длину АВ.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем рисунок, согласно требованиям задачи:
2. У трапеции ABCD стороны AB и CD основания, значит, они параллельны. Прямая АВ является секущей параллельных прямых, которые содержат основания. Следовательно, 
, поскольку они являются внутренними односторонними.
По построению AF и BF являются биссектрисами внутренних односторонних углов. Тогда сумма углом BAF и FBA определяется так:
3. Тогда в треугольнике ABF угол AFB равен:
∠ AFB =1800—(∠BAF —∠FBA)= 1800 – 900
Таким образом, треугольник AFB является прямоугольным, причем AB – гипотенуза
4. Воспользуемся теоремой Пифагора для ее вычисления:
Ответ:30.
Пятый вариант задания
Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 7.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж.
- Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
- Определяем вид треугольника AFB.
- Находим длину АВ.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем соответствующий чертеж:
2. Трапеция ABCD имеет основаниями стороны ВС и AD, значит, они параллельны. Тогда в ней внутренние односторонние при пересечении прямых, которые содержат эти основания, секущей АВ. Следовательно, они удовлетворяют равенству: 
.
3. По построению, заданному условием задачи AF и BF являются биссектрисы данных углов. Тогда в треугольнике ABF
Отсюда получаем:
Таким образом, треугольник AFB прямоугольный, а сторона AB – его гипотенуза.
4. Используем теорему Пифагора:
Отсюда АВ=25.
Ответ 25.
Шестой вариант задания
Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 20, BF = 15.
Алгоритм решения:
- Делаем чертеж.
- Рассматриваем углы трапеции и проведенные биссектрисы.
- Определяем вид треугольника AFB.
- Находим длину АВ.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Выполняем рисунок, соответствующий данному условию.
2. Рассмотрим трапецию ABCD. В ней 
как основания. Углы А и В составляют в сумме 1800, как углы при основаниях. Отсюда следует, что 
как соседние при двух основаниях. По условию лучи AF и BF – биссектрисы этих углов, тогда их сумма
3. Рассматриваем треугольник ABF. В нем угол 
по свойству углов треугольника, т.е. построенный треугольник AFB – прямоугольный. И гипотенузой в нем является сторона AB.
4. Вычислим сторону по теореме Пифагора: АВ2 = AF2 + BF2
Следовательно, АВ=25.
Ответ: 25.
Демонстрационный вариант ОГЭ 2019
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6 , BC = 8 . Найдите медиану CK этого треугольника.
Алгоритм решения:
- Используя св-во медианы в прямоуг.треугольнике, показываем, что искомый отрезок СК равен половине АВ.
- Используя т.Пифагора, находим АВ.
- Зная АВ, вычисляем СК.
Решение:
У прямоуг.треугольника есть свойство: его медиана, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна ее половине. Поскольку ∆АВС прямоугольный, то СК=АВ/2. Это означает, что СК=АК=КВ:
Гипотенузу АВ найдет по т.Пифагора:
АВ2=АС2+ВС2
Отсюда:
Тогда получаем:
СК=10/2=5.
Ответ: 5
